Lecture 10: Geometry 1(Introduction)¶

Implicit Representation¶

隐式表示法使用一个函数来表示几何图形。如一个球，可以表示为：

\[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0 \]

隐式表示难以进行渲染，但很方便进行布尔运算，如两个球的并集、交集等，也可以方便地判断点是否在图形内部。

显式表示法使用顶点、边、面等基本元素来表示几何图形。常见的显式表示法有多边形网格（polygon mesh）、曲面（surface）等。

所有的点都是直接给出或者通过参数映射给出。

如：

\[ f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \]

显式表示法便于渲染，但不方便进行布尔运算，也不方便判断点是否在图形内部。

实际应用中要根据实际需求选择合适的表示法。

构造实体几何（CSG）使用布尔运算来构建复杂的几何图形。常见的布尔运算有并集、交集和差集。

距离函数（Distance Function）用于表示几何图形的距离信息。对于一个点\((x, y, z)\)，距离函数\(f(x, y, z)\)表示该点到几何图形表面的最短距离。

可以用于混合一个移动的边界。比如A情况下，边界移动了\(\frac{1}{3}\)，B情况下，边界移动了\(\frac{2}{3}\)，那么可以通过距离函数来混合这两种情况，得到一个新的边界，结果为边界移动了\(\frac{1}{2}\)。

找到距离函数的零点即可得到边界。

水平集（Level Sets）用于表示几何图形的等值面。对于一个距离函数\(f(x, y, z)\)，其水平集\(f(x, y, z) = c\)表示距离为\(c\)的等值面。

在CT扫描中，可以通过水平集来重建三维图像。

分形（Fractals）是自相似的几何图形，可以通过递归的方法来生成。常见的分形有曼德布罗集（Mandelbrot Set）、朱利亚集（Julia Set）等。