Lecture 15:Ray Tracing 3(Light Transport & Global Illumination)

Light Transport

Bidirectional Reflectance Distribution Function(BRDF)

BRDF描述了表面如何反射入射光线到各个方向。它定义为出射辐射亮度和入射辐射照度的比率，表明了光线在表面上的反射特性。

BRDF的单位是\(sr^{-1}\)，表示每单位立体角的反射率：

\[ f_r(\omega_i, \omega_r) = \frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i) \cdot \cos\theta_i \cdot d\omega_i} \]

其中，\(L_r(\omega_r)\)是反射方向\(\omega_r\)的辐射亮度，\(E_i(\omega_i)\)是入射方向\(\omega_i\)的照度，\(L_i(\omega_i)\)是入射方向\(\omega_i\)的辐射亮度，\(\theta_i\)是入射光线与表面法线的夹角，\(d\omega_i\)是入射方向的立体角。

则：

\[ L_r(p, \omega_r) = \int_{H^2} f_r(p, \omega_i, \omega_r) L_i(p, \omega_i) \cos\theta_i d\omega_i \]

如果物体还会发光，则：

\[ L_r(p, \omega_r) = L_e(p, \omega_r) + \int_{\Omega^+} f_r(p, \omega_i, \omega_r) L_i(p, \omega_i) \cos\theta_i d\omega_i \]

其中，\(L_e(p, \omega_r)\)是点\(p\)在方向\(\omega_r\)的自发光辐射亮度。后面这个公式称为渲染方程(Rendering Equation)。

如果有多个发光体，需要将所有发光体的贡献累加；如果还有面光源，则需要对面光源进行积分。

简化表达形式：

\[ L = E + KL \]

其中，\(K\)是一个线性算子，表示BRDF和余弦项的乘积以及对半空间的积分，\(E\)是自发光项，\(L\)是总的辐射亮度。

通过移项合并与展开得到：

\[ L = (I - K)^{-1} E = E + KE + K^2E + K^3E + ... \]

以上公式的意思是，光线的总辐射亮度\(L\)可以看作是自发光项\(E\)以及经过多次反射后的贡献的累加。

Probability Review

随机变量\(X\)的概率密度函数(PDF)为\(p(x)\)，满足：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx = 1 \]

且\(p(x) \geq 0\)。

期望值(Expectation)为：

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x p(x) dx \]

随机变量的函数\(g(X)\)的期望值为：

\[ E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) p(x) dx \]