Lecture 17: Materials and Appearances

BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function) 双向反射分布函数决定了一个表面如何反射入射光。BRDF定义为：

\[ f_r(p, \omega_i, \omega_o) = \frac{dL_o(p, \omega_o)}{L_i(p, \omega_i) \cdot \cos\theta_i \cdot d\omega_i} \]

这个函数决定了一个物体的材质属性。

假定光是漫反射的，那么BRDF是各向同性的，积分得到：

\[ L_o(w_o) = \pi L_i f_r \]

定义反照率albedo(\(\rho\))为：

\[ f_r = \frac{\rho}{\pi} \]

则：

\[ L_o(w_o) = \rho L_i \]

常见的特殊材质有：镜面反射的材质（如镜子），类似镜面反射但反射光线有一定散射的材质（如抛光金属），同时有反射和折射的材质（如玻璃）

Snell's Law 斯涅尔定律描述了光在两种介质交界面上的折射现象：

\[ \frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t} = \frac{n_t}{n_i} \]

其中，\(\theta_i\)是入射角，\(\theta_t\)是折射角，\(n_i\)和\(n_t\)分别是入射介质和折射介质的折射率。 Snell's Window是指在水面下观察时，水面上方的光线会被折射到一个圆锥形的区域内，这个区域的视角约为97.2度。

BSDF(Bidirectional Scattering Distribution Function) = BRDF + BTDF(Bidirectional Transmission Distribution Function)，BSDF描述了光在表面上的散射和透射行为。

Fresnel Reflection反映了光在不同的角度入射到介质表面时，反射和折射的比例会发生变化。Fresnel项计算公式：

\[ R_s = \left(\frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}\right)^2 \]

\[ R_p = \left(\frac{n_1 \cos\theta_t - n_2 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_t + n_2 \cos\theta_i}\right)^2 \]

则：

\[ R_eff = (R_s + R_p) / 2 \]

一个估计公式Schlick's Approximation为：

\[ R(\theta) = R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos\theta)^5 \]

则：

\[ R_0 = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 \]

Microfacet Material

微表面材质模型假设表面由许多微小的平面组成，从远处上看到的是材质和外观，从近处看的是几何，把微小平面都视为镜面。

对于glossy surface，微表面法线分布比较集中，对于diffuse surface，微表面法线分布比较分散。

\[ f(i, o) = \frac{F(h) G(i, o) D(h)}{4 (n, i)(n, o)} \]

以上公式中，\(F(h)\)是Fresnel项，\(G(i, o)\)是几何遮蔽项（可能微表面之间会有互相遮挡），\(D(h)\)是微表面法线分布函数，分母中的\((n, i)\)和\((n, o)\)分别是法线与入射方向和出射方向的点积。整个公式的结果是BRDF。

Isotropic and Anisotropic

Isotropic各向同性，Anisotropic各向异性。

各向同性材质的BRDF在所有方向上都是相同的，而各向异性材质的BRDF则在不同方向上表现出不同的反射特性。各向异性材质通常用于模拟具有方向性纹理或结构的表面，如刷纹金属或织物。

BRDF的属性：非负性（\(f_r(p, \omega_i, \omega_o) \geq 0\)），线性性（\(f_r(p, \omega_i, \omega_o)\)关于入射光线和出射光线是线性的），可逆性（\(f_r(p, \omega_i, \omega_o) = f_r(p, \omega_o, \omega_i)\)），能量守恒（\(\int_{\Omega^+} f_r(p, \omega_i, \omega_o) \cos\theta_i d\omega_i \leq 1\)）

如果各向同性，那么\(f_r(\theta_i, \phi_i, \theta_o, \phi_o) = f_r(\theta_i, \theta_o, \phi_o - \phi_i)\)；如果各向异性，那么\(f_r(\theta_i, \theta_o, \phi_i - \phi_o) = f_r(\theta_i, \theta_o, \phi_o - \phi_i) = f_r(\theta_i, \theta_o, | \phi_o - \phi_i|)\)

测量BRDFs

Image-Based Measurement

通过拍摄一系列照片来测量BRDF。通常使用一个旋转平台，将样品放置在平台上，并使用一个固定的光源和相机，从不同的角度拍摄样品。然后，通过分析这些照片，可以计算出样品的BRDF。

但是这个方法需要大量的观测数据，如果是各向同性材质，可以减少观测数据。

如MERL BRDF Database，包含100种不同材质的BRDF数据，每种材质的BRDF数据存储在一个90x90x180的三维数组中，分别对应入射角、出射角和方位角。