Lecture 2: Review of Linear Algebra

图形学依赖于基础数学（线性代数、微积分、统计学等），也依赖于基础物理（光学、力学等）。本节将回顾线性代数的基础知识。

线性代数

向量和矩阵

向量

向量是一个有方向和大小的量。在二维空间中，向量可以表示为一个有序的数对，没有一个绝对的起点，默认会使用列向量表示法:

\[ \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. \]

向量的模长（或大小）可以通过以下公式计算:

\[ \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. \]

向量的加法和标量乘法定义如下:

\[ \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\[4pt]u_{2}+v_{2}\end{pmatrix},\qquad c\mathbf{v}=\begin{pmatrix}cv_{1}\\[4pt]cv_{2}\end{pmatrix}. \]

向量的点乘和叉乘定义如下:

\[ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2},\qquad \]

叉乘以三维向量为例:

\[ \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\\[4pt]u_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\\[4pt]v_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\[4pt]u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\[4pt]u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}. \]

叉乘的结果是一个垂直于两个向量的向量，其大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。

叉乘可以用于判断左右和内外关系。在三维空间中，叉乘的结果向量的方向可以用右手定则来判断:将右手的四指指向第一个向量，弯曲到第二个向量，拇指所指的方向即为叉乘结果的方向。因此，若 \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) 的 z 分量大于 0，则 \(\mathbf{u}\) 在 \(\mathbf{v}\) 的左侧；若小于 0，则在右侧。内外关系同理通过判断多边形每条边的叉乘结果的 z 分量来确定。

矩阵

矩阵是一个由向量组成的二维数组。矩阵可以表示线性变换，例如旋转、缩放和平移等。

矩阵的乘法定义如下:

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\[4pt]a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}. \]