Lecture 5: Rasterization 1(Triangles)¶

Perspective Projection¶

这个变换使用的矩阵是上节课提到的投影矩阵 (Projection Matrix)。它的作用是将不规则的视锥体空间（即摄像机视野），扭曲成一个非常规整的标准立方体 (Canonical View Volume / Clip Space)，这个立方体的xyz坐标范围通常都是 [-1, 1]。

\[ \text{Aspect Ratio} = \frac{\text{Width}}{\text{Height}} \]

\[ \tan(fovY/2) = \frac{\text{Height}/2}{\text{Near}} \]

MVP:model-View-Projection（模型-视图-投影）

Canonical Cube to Screen¶

光栅化的过程是把图形转换为像素的过程。

像素\((x, y)\)的中心在\((x + 0.5, y + 0.5)\)处。屏幕显示范围从\((0, 0)\)到\((W, H)\)，其中\(W\)是宽度，\(H\)是高度。

Viewport变换将标准立方体[-1, 1]映射到屏幕坐标系，其使用的矩阵为:

\[ M_{viewport} = \begin{bmatrix}\frac{W}{2} & 0 & 0 & \frac{W}{2} \\0 & \frac{H}{2} & 0 & \frac{H}{2} \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \]

其几何意义是先将标准立方体[-1, 1]映射到[-W/2, W/2]和[-H/2, H/2]，然后平移到屏幕坐标系。

Triangles¶

三角形是计算机图形学中最基本的图元。它由三个顶点组成，每个顶点都有一个位置和颜色等属性。

采样¶

采样是将连续的图形数据转换为离散的像素数据的过程。采样可以通过对三角形进行光栅化来实现。

以三角形的采样为例，定义一个函数\(inside\)，规定:

\[ inside(tri, x, y) = \begin{cases} 1, & \text{if } (x, y) \text{ is inside the triangle } tri \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]

所以光栅化的过程可以表示为:

C++
for (int x = 0; x < xMax; x++) {
    for (int y = 0; y < yMax; y++) {
        image[x][y] = inside(triangle, x + 0.5, y + 0.5);
    }
}

那么如何判断点\((x, y)\)是否在三角形内呢？可以使用向量叉积法。

叉积法判断点在三角形内¶

对于三角形的三个顶点\(A\), \(B\), \(C\)，可以计算向量\(AB\)和\(AC\)，以及点P\((x, y)\)到这三个顶点的向量。然后通过叉积判断点是否在三角形内，即:

\[ \text{cross}(AB, AC) \cdot \text{cross}(AB, (x, y) - A) \geq 0 \\ \text{cross}(BC, BA) \cdot \text{cross}(BC, (x, y) - B) \geq 0 \\ \text{cross}(CA, CB) \cdot \text{cross}(CA, (x, y) - C) \geq 0 \]

更简洁的等价方式¶

在实践中，通常会采用一种更简洁的等价方法。该方法要求首先确定三角形三个顶点A, B, C的环绕顺序（例如，统一为逆时针）。

假设顶点A, B, C是按逆时针顺序排列的，那么一个点P在三角形ABC内部（或边界上）的充分必要条件是:点P必须位于有向线段AB、BC和CA的同一侧（左侧）。这可以通过以下三个叉积的符号来判断:

\[ \text{cross}(AB, AP) \geq 0 \\ \text{cross}(BC, BP) \geq 0 \\ \text{cross}(CA, CP) \geq 0 \]

这里的关键点是:

如果A, B, C是逆时针顺序，那么上述三个叉积都应该大于等于0。
如果A, B, C是顺时针顺序，那么上述三个叉积都应该小于等于0。

为了降低开销，实际判断inside函数时不会将所有点都计算一次，而是会使用一个包围盒（Bounding Box）来快速排除不在三角形内的点。而且可以使用类似行扫描的方式来找到每一行的最小和最大x坐标，从而减少需要检查的点数。